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PCA特征脸

参考

• csdn：PCA 降维算法详解 以及代码示例
• csdn：PCA的应用示例
• stackoverflow：eigenfaces are not showing correctly and are very dark
• 博客：Eigenfaces face recognition (MATLAB)
• Wikipedia：Eigenface
• csdn：人脸识别经典算法一：特征脸方法（Eigenface）
• csdn：特征脸(Eigenfaces)

文章目录

• PCA特征脸
• • 1. 预处理
  • 2. 平均脸
  • 3. 规范化
  • 4. 特征脸
  • • （1）svd
    • （2）eig
  • 5. 重构
  • • （1）10维
    • （2）100维

ATTENTION:

1. 由于作业中并不需要区分训练图片和测试图片，所以以下处理全部都是基于同一组图片的。但这样其实是不严谨的。所以，如果是真正要做PCA的人脸识别，需要分开训练集和测试集，如果测试集掺杂在训练集里面，测试结果将会不公平。 2. 这里只是介绍获取特征脸以及图像恢复，并不涉及后续利用最短欧氏距离的人脸识别。

1. 预处理

从Yale人脸识别数据集上下载了165张图片，每一张是64x64像素。

• 首先，将每一张图片转换成4096x1的列向量，也就是说把每一列的像素加到末尾，使原来的矩阵形成一个大的列向量（行向量也可以，但是下面都是用的列向量当例子）。所以整个图片矩阵是4096x165的。

• 显示图片的时候，可以借助imshow(x,[])和reshape函数，将列向量转换成64x64的矩阵。reshape函数可以将矩阵的维数进行转换，只要确保转换前后矩阵的包含的数值数目相同即可。

% 显示前九张
for j=1:9subplot(3,3,j);imshow(reshape(X(:,11*(j-1)+1),[64 64]),[]);
end

• 如果直接用imshow(x)来操作的话，x矩阵必须是uint8类型，如果是double类型的话，图片将无法显示。如果用imshow(x,[])，就不需要考虑uint8和double类型。由于后续求特征向量的时候，向量的数值都会偏小，所以要到函数imshow(x,[])，并且[]里面直接为空，不需要填任何参数，因为该函数具有自动校正功能。如果加了参数，特征脸会变得很暗，几乎看不到。如果将x矩阵强行转换成uint8类型，效果也是特别不好，看到的基本上是一片漆黑。

2. 平均脸

• 求平均脸，是将所有列加起来再除以165，得到一个4096x1的列向量，这个列向量转换成64x64矩阵打印出来就是一张平均脸。
• 由于不能直接对原图片矩阵进行操作，所以需要另外开一个矩阵存储图片。
• 求平均值的时候可以用到mean函数，直接使用mean(x)表示将所有行加起来求平均值。如果使用mean(x,2)，表示将所有列加起来求平均值。

Y = X;%平均脸
meanface = mean(Y,2);
subplot(2,3,1);
imshow(reshape(meanface(:,1),[64 64]),[]);

3. 规范化

• 为了使数据分布更为均匀，使数据便于后续的计算，所以要处理数据。首先要减去平均脸，然后要进行归一化，也就是除以标准差。
• bsxfun函数是一个功能强大的函数，尤其是对于这种列操作或行操作的运算十分方便。其中@plus、@minus、@times、@rdivide是表示加减乘除运算。

%减去平均脸
Y = bsxfun(@minus,Y,meanface);%归一化
sig = std(Y);
Y = bsxfun(@rdivide,Y,sig);

4. 特征脸

特征脸就是特征向量转化成图片矩阵显示出来的图像。

• 求特征脸有两种方法，一种是直接使用svd函数分解图片矩阵Y，另一种方法是用eig函数求Y的协方差矩阵的特征向量。
• 因为图片的张数比图片的像素小很多（165 << 4096），所以采用第一种方法，运行速度会快很多。

（1）svd

• 直接取前五个最大的特征向量。svd分解矩阵以后，矩阵U就是特征向量矩阵，矩阵S就是特征值矩阵。特征值矩阵S是一个对角矩阵。一般情况下，特征向量矩阵和特征值矩阵都是按列从大到小的降序排列，所以不需要利用fliplr(x)对矩阵进行处理。

%特征向量
[U,S,V] = svd(Y);%取前5个特征向量
Ureduce = U(:,1:5);% 显示特征脸
for j=1:5subplot(2,3,j+1);imshow(reshape(Ureduce(:,j),64,64),[]);
end

• 其中第一张是平均脸，后面的五张就是特征向量打印出来的特征脸。

• 观察Ureduce矩阵，其实可以发现特征向量里面是有很多负数的。但是这些负数是正常的，而且绝对不可以粗暴地用uint8来转化，不然就会出现一片黑。就像前面说的，放心用imshow(x,[])，它会帮忙矫正的。

（2）eig

• 利用eig的话，首先得求整个图片矩阵Y的协方差矩阵。
• 利用公式： S = 1 n ∑ i = 1 n x i x i T S=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_ix_i^T S=n1​i=1∑n​xi​xiT​ 进行计算。其中n表示一张图片的像素数，即4096。

%协方差矩阵
covmat = 1/4096 * Y * Y';

• 对协方差矩阵求解特征向量，并且提取前五个最大的特征向量。因为eig函数求出来的特征向量矩阵V和特征值矩阵D也是按列的从大到小降序排列，所以可以直接选取前五列。

%特征向量
[V,D] = eig(covmat);%取前5个特征向量
Vreduce = V(:,1:5);%显示特征脸
for j=1:5subplot(2,3,j+1);imshow(reshape(Vreduce(:,j),64,64),[]);
end

• 其中第一张是平均脸，后面的五张就是特征向量打印出来的特征脸。

• 观察Vreduce矩阵，其实可以发现特征向量和Ureduce矩阵的刚好是相反数。

5. 重构

将上一步得到的特征向量矩阵用于对图片矩阵Y进行降维操作，然后再对图片矩阵Y升维，并且乘回标准差，加回平均脸。

（1）10维

• 10维是指获取前十个最大特征向量进行降维操作然后再重构。
• 降维操作是利用4096*10的Uk矩阵的转置乘上矩阵Y，得到Yp的维数是5x165。然后再用4096x10的Uk乘上Yp，恢复Yp的维数：4096x165。

%降到10维
dim = 10;
Uk = U(:,1:dim);%列向量 所以Uk要转置
Yp = Uk' * Y;
Yp = Uk * Yp;%还原特征
Yp = bsxfun(@times,Yp,sig);
Yp = bsxfun(@plus,Yp,meanface);for j=1:3subplot(3,2,2*(j-1)+1);imshow(reshape(X(:,j),64,64),[]);subplot(3,2,2*(j-1)+2);imshow(reshape(Yp(:,j),64,64),[]);
end

• 左边是原图，右边就是恢复出来的图片。

• 10维恢复出来的图片，其实大部分轮廓线还是明显地保留了。但是很多细节是丢失的，第二张图张嘴的位置就很明显可以看出来，恢复的图片在张嘴的位置是黑的。

（2）100维

• 道理和10维的一样，只不过将提取的特征向量由前十大变成前一百大。

%降到100维
dim = 100;
Uk = U(:,1:dim);%列向量 所以Uk要转置
Yp = Uk' * Y;
Yp = Uk * Yp;%还原特征
Yp = bsxfun(@times,Yp,sig);
Yp = bsxfun(@plus,Yp,meanface);for j=1:3subplot(3,2,2*(j-1)+1);imshow(reshape(X(:,j),64,64),[]);subplot(3,2,2*(j-1)+2);imshow(reshape(Yp(:,j),64,64),[]);
end

• 左边是原图，右边就是恢复出来的图片。

• 100维的恢复效果已经很好了，不光是轮廓线，连大部分的细节都已经出来了。肉眼上看，和原图并没有相差很大。